[vimeo]http://www.vimeo.com/10806499[/vimeo]
Este vídeo de apresentação do projecto AlgoRítmico é da Micaela Amaral.
Etiqueta: matemática
Space Ensemble @ Casa da Música | Sala de Ensaio 1
27 a 30 de Outubro 2009 | 11h00 e 14h30 (sessões reservadas a escolas)
31 de Outubro 2009 | 11h00 e 16h00
ALGORÍTMICO – Música e Matemática
um novo programa do Space Ensemble
“[…] Nenhum matemático devia alguma vez esquecer que a matemática, mais do que qualquer outra arte ou ciência, é um jogo juvenil.”
G. H. Hardy (1877-1947)
O Space Ensemble encara o desafio de construir um programa de filmes-concerto relacionando Música e Matemática com naturalidade e entusiasmo. Frequentemente referidas como linguagens universais, a relação entre Música e Matemática parece ser uma fonte inesgotável de descoberta e inspiração e o Space Ensemble escolhe uma perspectiva bastante particular:
- a Música, nosso território “nativo”, é uma linguagem universal por ser, com o movimento, condição prévia de comunicação, socialização e, assim, humanidade— une todos os seres humanos no que há de mais elementar e instintivo;
- a Matemática, base do conhecimento, como ciência e aprendizagem, é também universal, por operar como uma poderosa ferramenta de modelação e manipulação da realidade (esta e todas as outras) e, assim, se constituir também como mecanismo de tradução e conversão entre virtualmente todos os domínios humanos— congrega e articula todas as formas de conhecimento e criação.
Assim, mais do que relacionar Música e Matemática, procuramos usar a universalidade da expressão musical como forma de ilustrar a extraordinária potência da ciência matemática na construção de relações: construímos música a partir de números, em jogos com o público ou com filmes, musicamos as composições geométricas animadas de Norman McClaren e René Jodoin e invertemos o processo, criando novas animações, que traduzem, em tempo real, a música produzida.
AlgoRítmico é um jogo juvenil, como a própria Matemática, segundo Hardy. Um jogo de sons e imagens, com regras matemáticas, como o mundo.
História de Palavras
Algoritmo e Algarismo têm a mesma origem etimológica: al-Khuwarizmi era um matemático árabe do séc. IX e não é comum que palavras tão importantes e de uso científico tenham origem no nome duma pessoa.
Na origem da palavra algoritmo também participa o grego para número: arithmós (donde vem a Aritmética).
Arithmós é número, em grego, e significa número e quantidade e Rhuthmós é ritmo, em grego, e significa medida, cadência e ritmo.
Portanto, o rhuthmós, a medida, pode ser representada por arithmós, quantidades. Giro, não é?
Daqui, temos a Aritmética, o Algarismo, o Algoritmo, o Ritmo e…
Já Matemática vem também do grego mathematikê ou mathêmatikós, que junta máthêma ou mathêmatos (estudo, ciência, conhecimento), que vem de manthánô (estudar, aprender), com -ica, um sufixo grego especialmente usado no domínio das artes, ciências, técnicas, doutrinas e afins, fazendo da Matemática a ciência fundamental, por se construir com base etimológica na própria ideia da aprendizagem e construção do conhecimento.
Se pensarmos que a Música (mosoikê) é, etimologicamente, também, a Arte das Musas, ou seja a Arte das Artes… temos uma espécie de “ciclo virtuoso“, em vez de “ciclo vicioso“.
Isto tudo dá o quê? Dá AlgoRítmico.
Space Ensemble: Sérgio Bastos (piano), Henrique Fernandes (contrabaixo), João Tiago Fernandes (percussão), Nuno Ferros (electrónicas), João Martins (saxofones), Eleonor Picas (harpa).
Programação Pure Data [pd~]: João Martins
Ilustrações: João Tiago Fernandes
Filmes de René Jodoin e Norman McClaren cedidos pelo National Film Board (Canadá).
Produção do Serviço Educativo da Casa da Música.
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Sobre a escala pentatónica
A demonstração da universalidade e poder da escala pentatónica que Bobby McFerrin fez no World Science Festival é, para um músico, um momento interessante mas não necessariamente “mágico”. Todos conhecemos, com maior ou menor profundidade, a prevalência mais ou menos universal desta tipologia de escala em todas a formas de música popular, todos nos socorremos destas escalas em momentos de aflição ou ambiguidade e aqueles que estiveram mais atentos nas aulas de acústica sabem explicar este “fenómeno”. Se bem se lembram, foi uma escala pentatónica que usei na música do Dia do Pi e, na altura tentei explicar porquê:
É verdade que escalas pentatónicas há muitas e, quem tiver um interesse forte por todas as variações pode consultar este artigo em inglês na Wikipedia, que está bastante bem feito, mas é interessante (para pessoas como eu, pelo menos) perceber que a universalidade básica desta escala específica se deve a uma questão matemática, como quase tudo aquilo que é universal, abstracto e belo. 😉
De facto, a construção base da escala pentatónica maior é uma selecção de 5 tons consecutivos do ciclo das quintas. Ora a quinta e a oitava são os únicos 2 intervalos reconhecidos universalmente, segundo um dos palestrantes da sessão do World Science Festival, e isso faz sentido matemático-natural: aquilo a que chamamos “oitava” é a diferença entre uma frequência e o seu dobro e o alinhamento rigoroso da oitava face à fundamental, que num instrumento de corda se consegue reduzindo o comprimento da corda para metade do seu comprimento original, conduz à percepção de que se trata da mesma “nota”, num “registo” diferente. Já a “quinta”, igualmente universal e basilar para a compreensão da música humana, resulta da triplicação da frequência original, obtida, fisicamente, pela divisão em 3 da tal corda. A sistematização matemática e os modelos físicos foram introduzidos por Pitágoras e é a ele que devemos a compreensão de muitos destes feómenos, mas é interessante notar que ele apenas constatou as relações harmónicas existentes na música produzida na altura. A relação 1:2, que produz a “oitava”, assim como a relação 3:2 que constrói a “quinta perfeita” são, de resto, problemas de acústica e organologia, de “temperamento musical“, que são fundamentais para compreender a evolução da música ocidental e dos seus instrumentos, mas estas relações harmónicas são, aparentemente universais.
Desta forma, é natural que a construção duma escala que sobrepõe, numa única oitava, tons consecutivos do “ciclo das quintas”, gere uma sensação de ambiguidade positiva, já que as típicas relações hierárquicas das escalas heptatónicas desaparecem. A escala pentatónica desenvolve-se como um contínuo que é fácil de aprender e cantar, que se pode sobrepôr em várias vozes sem dissonâncias, que se ajusta às progressões harmónicas mais comuns e que permite algumas das “habilidades” demonstradas por Bobby McFerrin.
A relação entre música e matemática, no caso concreto da universalidade das escalas pentatónicas, é algo que me entusiasma particularmente e que ilustra bem as palavras de Álvaro de Campos: “O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.”
“Nenhum matemático devia alguma vez esquecer que a matemática, mais do que qualquer outra arte ou ciência, é um jogo juvenil.”
Hardy
Como é que o professor Arsélio mudava e melhorava a relação dos alunos com o ensino da Matemática?
Só tenho uma hipótese. Continuar a fazer o meu trabalho. ABraçar os alunos quando é caso disso, ralhar com eles quando é necessário. E tentar com todos os exemplos à minha disposição mostrar que a Matemática é uma coisa de importância vital. A minha posição é esta: quando uma pessoa pensa que uma coisa é importante, tenta aprendê-la e fazê-la bem. Todos os alunos que são maus a Matemática fazem muitas coisas bem. Porquê? Porque para eles são coisas importantes. A Matemática é que não é uma delas. O problema é de cultura. Os pais não entendem isto e desculpam a falta de cultura científica. QUnado perceberem que é vital, vão aprendê-la. Não pode ser feito doutra maneira.O professor Arsélio Martins responde a perguntas do aluno Tomás Fidélis, na Pública de 28.09.08
Nuno Crato recebeu um European Science Award pelo trabalho na área da divulgação científica.
Eu sou fã quase incondicional de todos aqueles que conseguem trazer temas científicos para a ribalta, explicando-os e discutindo-os em termos acessíveis e apelativos. Gosto especialmente quando isso é feito sem desprezo pelo público, ou seja, sem simplificações excessivas ou paternalismos académicos. Por isso estou muito contente com a atribuição deste prémio. Espero sinceramente, como o próprio, que sirva para todos nós falarmos mais de ciência.
[english version below – please scroll]
O Dia do Pi celebra-se em todo o mundo a 14 de Março (3.14 no formato amerciano de datas) e há imensas razões para celebrar esta entidade matemática extraordinária. E há também muitas formas de o fazer.
No último episódio do podcast mostrei uma experiência musical feita a partir do Pi, recorrendo ao Pure Data e prometi explicações também em português e a disponibilização do patch. Cá está: diadopi-final.zip simplificado e comentado em português.
Mas, primeiro, as explicações que tinha dado só em inglês.
2 professoras de Matemática (a minha mãe e uma colega) pediram-me para conceber alguma forma de representação musical de Pi para ser usada no Dia do Pi em escolas do básico. Usei, obviamente, o Pure Data para fazer várias experiências.
Usei alguns princípios simples.
Como Pi é uma dízima infinita não periódica, a sequência de casas decimais pode ser lida, algarismo a algarismos e mapeada para que cada algarismo corresponda a uma nota musical. Teríamos assim uma escala de 10 notas que o Pure Data pode “tocar” lendo os algarismos como uma partitura.
Se escolhermos uma sequência longa, como 1 milhão de casas decimais de Pi, e a passarmos por qualquer sintetizador ou sampler teremos a representação musical ou sonora dessa sequência infinita e não periódica.
Para assegurar algum interesse musical e não “assustar” o público em geral, escolhi mapear os algarismos de acordo com a escala pentatónica maior (as teclas pretas do piano, que produzem uma espécie de escala chinesa), já que esta escala garante uma coesão harmónica grande e a possibilidade de sobrepôr mais do que uma série, sem criar dissonâncias. Como a escala tem 5 notas, usei-a estendida em 2 oitavas e estabeleci uma pulsação rítmica regular.
Assim, o Pure Data lê o milhão de algarismos de Pi e toca-os, um de cada vez. O mapeamento faz corresponder a cada algarismo uma nota MIDI, que é convertida em frequência (para poder reorganizar a escala em qualquer altura) e torna-se audível através dum sintetizador básico, com modulação de amplitude e de frequência, com um ligeiro ar de percussão metálica. Adiciona-se a isso um envelope ASR e um gerador de ruído para dar alguma cor e a base está feita. Esta é a sequência mais rápida que se ouve na faixa do podcast. Mas houve-se igualmente uma segunda sequência, ou voz, mais lenta. Acrescentei isso para testar alguma variação, por isso uso a mesma sequência e mapeamento, mas a um ritmo 4 vezes mais lento e com uma forma de onda mais simples. A escolha da pentatónica torna tudo mais fácil e o resultado final tem um efeito de “escala/dimensão” que também tem interesse no contexto Matemático: usando diferentes abordagens podemos encontrar “escondidos” na sequência de algarismos, variadíssimos “significados” (nomes, números de telefone e BI) como se demonstra no Atractor.
O resultado em qualquer uma das fases tem o seu interesse e quem quiser experimentar tem todo o meu apoio.
No podcast há umas “suspensões” a cada minuto que resultam de variações introduzidas por outros factores, para mostrar algumas das possibilidades do patch.
E, como tinha anunciado, o meu patch Pi Day Pure Data está disponível para quem quiser usar. Podem descarregá-lo aqui: Dia do Pi: Pure Data patch
É uma versão simplificada, só com a sequência principal e está comentado em Português. É relativamente fácil de usar (fiz o teste com a minha mãe) e permite a representação audível e visível do Pi.
Para usarem, precisam de:
- Descarregar e instalar o Pure Data
É livre, gratuito e existe para todas as plataformas. Os instaladores são simples. Aconselho a última versão estável do pd-extended (0.39.3 por agora). É só descarregar, descomprimir, abrir o instalador e seguir as instruções. - Descarregar e descomprimir o meu ficheiro diadopi-final.zip para um sítio relevante no vosso computador
Devem ficar com uma pasta chamada diadopi-final com 4 ficheiros lá dentro (diadopi.pd, pi.txt, fftscope.pd e oscscope.pd) - Abrir o patch diadopi.pd (um duplo click e está)
Vão ficar com 2 janelas do PD abertas: o patch e a consola. Certifiquem-se de que a opção compute audio está seleccionada na consola. - Seguir os passos do patch (as instruções têm números):
- Canto superior esquerdo – clicar em table pi
Cria uma tabela para receber os valores de Pi. A janela que aparece pode ser fechada ou minimizada. - Clicar em pi resize 1e+06…
Redimensiona a tabela para albergar 1 milhão de entradas e carrega o ficheiro pi.txt. pi.txt é 1 milhão de casas decimais de Pi, separadas por parágrafos. - Clicar no botão para reinicializar os valores base
Pode usar este botão em qualquer altura para voltar ao primeiro algarismo da sequência, indpendentemente da sequência estar parada ou em andamento. - No canto inferior direito, uma barra vertical – Controlo do Volume
Pode alterar o volume em qualquer altura. O = MUTE. 1 = MAX. - Acima de 4 – clicar em pd montra
Vai abrir uma nova janela onde poderá ver uma representação do que irá acontecer. Cada algarismo “acende” uma luz diferente nos quadrados negros e tem um osciloscópio e o gráfico FFT. Mantenha esta janela visível. - No cimo, ao centro – clicar no quadrado acima de metro
Vai iniciar a sequência à velocidade base de 176.8 milisegundos para cada nota. A sequência de 1 milão de algarismos demora 48 horas. Pode parar e reiniciar a sequência em qualquer altura clicando neste botão.
- Canto superior esquerdo – clicar em table pi
Se alguma coisa (ou tudo) fallhar, pode entrar em contacto comigo, através dos comentários.
Se quiser editar alguma coisa, vá ao menu Edit > Edit Mode (ctrl+e) e experimente à vontade. A alteração do tempo (metro), da escala base (notas MIDI), da configuração geomátrica da montra, assim como alguns parâmetros dos 3 osciladores usados deve ser relativamente simples. Se quiser usar este exemplo para se iniciar no Pure Data, fico muito contente. Vá experimentando e familiarize-se com o menu Help.
E, se quiser, pergunte coisas. Eu só responderei ao que souber e puder. 😉
Feliz Dia do P!
— english:
As announced, my Pi Day Pure Data patch is available for anyone to use.
You can download it here: Dia do Pi: Pure Data patch
It’s a slightly simpler version (one sequence only) and it’s commented (Portuguese only, sorry). It’s fairly simple to use (as far as I can tell) and it allows a simultaneous audible and a visible representation of Pi.
To use it, you’ll need:
- Download and install Pure Data
It’s freely available for every platform and the installers are straight-forward. I advise the latest stable release of pd-extended (0.39.3 as of this writing). It should be a matter of downloading, uncompressing, double-clicking an installer and following instructions. - Download and uncompress my zipped file diadopi-final.zip to a convenient location on your computer
You should have a folder named diadopi-final with 4 files inside (diadopi.pd, pi.txt, fftscope.pd and oscscope.pd) - Open my diadopi.pd patch (double-clicking it should do)
You’ll have 2 PD windows: the patch and the console. Make sure compute audio is enable in the console window. - Follow the patch steps (look for the numbered instructions):
- Upper left corner – click table pi
Generates a table to receive Pi values and you can close the table window that opens at this time. - Below 1 – click pi resize 1e+06…
Resizes the table to hold one million entries and loads pi.txt into it. pi.txt is one million digits of Pi, separated by paragraphs. - Below 2 (the square button) – Resets initial values
You can use this button at any time to go back to the first digit of the sequence, either stopped or playing. - Lower right corner (vertical slider) – Sets volume
You can change the volume at any time. O = MUTE. 1 = MAX. - Above 4 – click pd montra
This will open a new window where you will be able to see a simple graphical representation of what’s happening. Digits of Pi light up different squares and you have an oscilloscope and an FFT graph. Keep this window visible. - Up center, click the square button above metro
This starts the sequence at a default speed of 176.8 milliseconds for each note. It will take 48 hours to complete the sequence of one million digits. You can stop and resume at any time pressing the same button.
- Upper left corner – click table pi
If anything (or everything) fails, you can reach me through the comments at this post.
If you want to edit something, you’ll have to go to Edit > Edit Mode (ctrl+e) and you’re free to experiment. Changing default time, musical scales (using MIDI values), the geometrical configuration of montra and some parameters of the 3 oscillators should be fairly simple. If you want to use this example to start to learn Pure Data, I’ll be thrilled. Just play around and get to know the Help section.
And feel free to ask questions. I’ll feel free to answer only when possible. 😉
Happy Pi Day!
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Pessoal e… transmissível
A TSF decidiu (e bem) retransmitir a conversa pessoal e transmissível do Carlos Vaz Marques com o matemático brasileiro Elon Lages Lima:
Elon Lages Lima, matemático
O que falta ao ensino da matemática não é pedagogia são os conhecimentos adequados por parte dos professores. O matemático brasileiro Elon Lages Lima garante que o problema é igual pelo mundo inteiro e defende, na entrevista ao fim da tarde, com Carlos Vaz Marques, que os professores também deviam ir a exame.
É de Junho de 2005, mas continua fundamental para quem não perceba a beleza da Matemática.
O site da TSF não é propriamente um bom exemplo de usabilidade e o feed do podcast não é muito explícito, por isso e para facilitar a pesquisa, deixo aqui o link do audio (enquanto estiver disponível do lado da TSF).
Já há muito tempo que, por razões familiares e profissionais, procuro soluções estáveis para escrever online numa das línguas mais universais de todas: a matemática.
Não é fácil, por mais voltas que se dê, porque o funcionamento de scripts como o mimetex (foi através dele que produzi esta expressão) ou de mecanismos que necessitem do próprio Latex nos servidores, normalmente, não se conseguem pôr a funcionar num servidor “standard”. É sempre preciso instalar mais qualquer coisa ou pedir ao administrador de sistema que faça mais esta ou aquela alteração aos ficheiros de configuração…
Eu não perco a esperança, mas cansa-me…
Alguém tem ajudas a dar?